Cyclotomy ve Şifrelemedeki Bazı Uygulamaları

Abstract

Cyclotomic numbers are quite useful algebraic arguments in cryptology. However calculation of these numbers in terms of the definition is getting harder while parameters are getting larger. Some of the properties of cyclotomic numbers provide to express them in terms of Diophant equations. In this way the problem is linked to number theory and in some cases the calculations become easier. Primary works on the problem are usually on Z_p and later generalizations to F_{p^n} are sought. On Z_p there are several works on order 2-24 [12,16], on F_{p^n} there are works on order 2-6 and 8 [4,5,20]. In this work, order 7 cyclotomic numbers on F_{p^n} are examined and the results are compiled. Additionally some applications of cyclotomy on cryptology are mentioned and Sidel'nikov sequences which are the current and important applications are explained by examples.Keywords: Cyclotomy, cyclotomic numbers, uniform cyclotomy, Sidel'nikov sequences, autocorrelation, autocorrelation distribution.

Cyclotomic sayılar, şifreleme alanında kullanılan önemli cebirsel argümanlardandır. Yalnız bu sayıları tanım üzerinden hesaplama işi, parametreler büyüdükçe çeşitli zorlukları da beraberinde getirmektedir. Cyclotomic sayıların bazı temel özellikleri, bu sayıları Diyofant denklemler yoluyla ifade etmeye imkan tanır. Böylelikle problem sayılar teorisiyle ilişkilendirilir ve bazı durumlarda cyclotomic sayıları hesaplamak kolaylaşır. Bu konudaki ilk hesaplamalar genelde Z_p üzerinden yapılmış, daha sonra çalışmalar F_{p^n} ye genelleştirilmeye çalışılmıştır. Z_p üzerinden bakıldığında mertebe 24'e kadar çalışmaların olduğu görülür [12,16]. F_{p^n} üzerinde incelendiğinde ise yedinci mertebeye kadar çalışmaların tamamlandığı [4,5,20] görülmüştür. Bu tez çalışmasında öncelikle cyclotomy tanıtılmış, sonra F_{p^n} üzerinde mertebe yedi incelenmiş ve konuyla ilgili sonuçlar derlenmiştir. Ayrıca cyclotomy probleminin şifrelemedeki uygulamalarından bahsedilmiş, güncel ve önemli bir uygulaması olan Sidel'nikov dizileri de örneklerle anlatılmaya çalışılmıştır.Anahtar kelimeler: Cyclotomy, cyclotomic sayılar, uniform cyclotomy, Sidel'nikov dizileri, otokorelasyon, otokorelasyon dağılımı.Cyclotomic numbers are quite useful algebraic arguments in cryptology. However calculation of these numbers in terms of the definition is getting harder while parameters are getting larger. Some of the properties of cyclotomic numbers provide to express them in terms of Diophant equations. In this way the problem is linked to number theory and in some cases the calculations become easier. Primary works on the problem are usually on Z_p and later generalizations to F_{p^n} are sought. On Z_p there are several works on order 2-24 [12,16], on F_{p^n} there are works on order 2-6 and 8 [4,5,20]. In this work, order 7 cyclotomic numbers on F_{p^n} are examined and the results are compiled. Additionally some applications of cyclotomy on cryptology are mentioned and Sidel'nikov sequences which are the current and important applications are explained by examples.Keywords: Cyclotomy, cyclotomic numbers, uniform cyclotomy, Sidel'nikov sequences, autocorrelation, autocorrelation distribution.