Kesirli Brown Hareketinin Maksimum Kayıp ve Supremum Değişkenleri

Abstract

Finansal piyasalarda, bir varlığın fiyatının supremum değeri ve bir risk ölçüsü olan maksimum kayıp değeri yatırımcılar için önemlidir. Literatürde, kesirli Brown hareketinin supremum değişkeninin ve maksimum kayıp değişkeninin beklenen değerleri üzerine bazı sınırlar mevcuttur. Fakat, bilinen tekniklerle supremum değişkeninin ve maksimum kayıp değişkeninin beklenen değerleri için tam değerler hesaplanamamaktadır. Bu tezde, Sudakov-Fernique eşitsizliği kullanılarak kesirli Brown hareketinin maksimum kayıp değişkeninin beklenen değeri üzerine teorik üst sınır bulunmuştur. Kesirli Brown hareketini kesikli hale getirme yöntemi ile kesirli Brown hareketinin supremum değişkeninin ve maksimum kayıp değişkeninin beklenen değerleri üzerine nümerik alt sınırlar bulunmuştur. Cholesky benzetimler yöntemi kullanılarak kesirli Brown hareketinin supremum değişkeninin ve maksimum kayıp değişkeninin beklenen değerleri için simülasyon sonuçları elde edilmiştir. Kesirli Brown hareketinin supremum değişkeninin ve maksimum kayıp değişkeninin beklenen değerleri üzerine elde edilen nümerik alt sınırlar, teorik sınırlar ve benzetim yöntemleri sonuçlar literatürde yer alan sonuçlar ile karşılaştırılmıştır.

In financial markets, the supremum of the price of an asset and the maximum possible loss as a measure of risk are important variables for investors. In literature, there are some bounds on the expected value of supremum and of maximum possible loss of fBm. For now, there are no exact solutions because with today's techniques, exact values are not possible to obtain. In this thesis, we provide a new theoretical bound on the expected value of maximum loss using Sudakov-Fernique inequality. Using discretization method and considering order statistics of multivariate normal variables, we obtain some numerical bounds on the expected value of maximum loss and of supremum of fBm. We also obtain some simulation results on the expected value of maximum loss and of supremum of fBm using Cholesky method. Finally we provide comparison of the established bounds.