Dereceli Kümeler Teorisinde Temel Teoremlerin Sezgisel Genişlemeleri ve Başlangıç Değer Problemlerine Bazı Uygulamaları

Abstract

Bu tez çalışmasında, dereceli kümeler teorisinde önemli olan bazı tanım ve teoremler sezgisel dereceli kümelere genişletilerek, birinci mertebeden sezgisel dereceli başlangıç değer problemlerinin çözümlerinin varlık ve tekliği Hukuhara ve kuvvetli genelleştirilmiş Hukuhara türevleri altında incelenmiştir. Bunun için öncelikle dereceli sayılar için verilen karakterizasyon teoremleri sezgisel dereceli sayılara genişletilerek bu sayıların α ve β kesitleri incelenmiştir. Sezgisel dereceli sayıların Minkowski toplamı ve skalerle çarpımı α ve β kesitler yardımıyla tanımlandıktan sonra sezgisel dereceli sayılar uzayının bu iki işlem altında kapalı oldugu ispatlanmıştır. Bu işlemler yardımıyla sezgisel dereceli sayıların Hukuhara ve genelleştirilmiş Hukuhara farklarının bazı özellikleri ifade edilip ispatlanmıştır. Hausdorff metriği yardımıyla, sezgisel dereceli sayılar uzayında D∞ metrigi tanımlandıktan sonra bu metriğin bazı temel özellikleri verilmiştir ve sezgisel dereceli sayılar uzayının D∞ metriği altında tam oldugu ispat edilmiştir. Bu teorem yardımıyla sürekli sezgisel dereceli sayı değerli fonksiyonlar uzayında Ds metriği tanımlanmıştır ve bu uzayın Ds metrigi altında tam oldugu ispatlanmıştır. Dereceli kümeler için tanımlanmış olan Hukuhara türevi, kuvvetli genelleştirilmiş Hukuhara türevi ve Aumann integrali kavramları sezgisel dereceli kümelere genişletilerek, bu kavramların bazı temel özellikleri α ve β kesitler yardımıyla ifade edilip ispatlanmıştır. Sezgisel dereceli sayılar için tanımlanan Hukuhara türevi ve Aumann integrali kavramları arasındaki ilişki, analizin temel teoremleri yardımıyla ifade edilip ispatlanmıştır. Bu tanım ve teoremler kullanılarak Hukuhara ve kuvvetli genelleştirilmiş Hukuhara türevleri altında birinci mertebeden sezgisel dereceli başlangıç değer problemerinin çözümlerinin varlık ve tekliği, Banach sabit nokta teoremi yardımıyla ispatlanmıştır. Son olarak Zadeh'in genişleme ilkesi yardımıyla ikinci mertebeden lineer sezgisel dereceli başlangıç değer problemlerinin çözümlerini veren bir teorem ifade edilip ispatlanmıştır ve elde ettigimiz sonuçlar nümerik örneklerle desteklenmiştir.

In this thesis, we have firstly generalized the fundamental definitions and theorems from fuzzy set theory to intuitionistic fuzzy set theory and then studied the existence and uniqueness of the solution of the first order intuitionistic initial value problems under Hukuhara and strongly generalized Hukuhara derivative concept and we have given an algorithm to find the solution of the second order linear differential equations with intuitionistic fuzzy initial values and forcing coefficients. First of all, the characterization theorems in fuzzy set theory are extended to the intuitionistic fuzzy environment and the properties of α and β cuts of intuitionistic fuzzy numbers are investigated. Then we have defied Minkowski sum and scalar multiplication of intuitionistic fuzzy numbers in terms of α and β cuts. And then, we have shown that the set of intuitionistic fuzzy numbers are closed with respect to Minkowski sum and scalar multiplication. With the aid of these operations, we have given some properties of Hukuhara difference and generalized Hukuhara difference for intuitionistic fuzzy numbers. We have defied D∞ metric on the set of intuitionistic fuzzy numbers and given some of its properties. And we have proved that the space of intuitionistic fuzzy numbers is complete with respect to D∞. Moreover, we have proved that the space of continuous intuitionistic fuzzy number valued functions is complete with respect to the metric Ds. Besides, the concepts of Hukuhara derivative, strongly generalized Hukuhara derivative and Aumann integral are investigated in the intuitionistic fuzzy environment by taking the properties of α and β cuts into consideration. With the help of these generalizations, the existence and uniqueness of the solution of the first order intuitionistic initial value problems under Hukuhara and strongly generalized Hukuhara derivative concept are studied and the algorithm to find the solution of second order linear differential equations with intuitionistic fuzzy initial values and forcing coefficients is given. Finally, numerical examples are given in line with these results.