Tek Gecikme İçeren Reaksiyon-difüzyon Sistemleri için Hopf Çatallanma Analizi Algoritması ve Uygulamaları

Abstract

Bu tezde, tek gecikme içeren ve Neumann sınır koşullarına sahip reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin bir sınıfında gecikme teriminin değişimine bağlı olarak ortaya çıkan periyodik çözümlerin varlığı ve özellikleri analiz edilmiştir. Bunun için, gecikme terimi çatallanma parametresi olarak alınıp bahsi geçen sistem sınıfında Hopf çatallanmanın ortaya çıktığı koşullar belirlenmiştir. Bu şekilde varlığı garanti edilen periyodik çözümlerin özelliklerini belirlemek için ise sistem merkez manifolduna indirgenmiştir. Aynı sınıfa ait farklı problemler için bu adımların tekrarını engellemek amacıyla bir algoritma oluşturulmuştur. Bu algoritma, Hopf çatallanma varlık analizini sadece sistemin karakteristik denkleminin katsayılarını kullanarak ve yön analizini ise sadece sistemdeki fonksiyonların Taylor serilerindeki birinci ve ikinci mertebeden türevlere karşılık gelen katsayıları kullanarak tamamlamayı sağlayacak koşullar ve formüllerden oluşmaktadır. Böylece, bu tez çalışması ile tek gecikme içeren reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin bahsi geçen sınıfı tamamen analiz edilmiştir. Elde edilen algoritma ile bu sınıfa ait dört farklı problemin Hopf çatallanma analizleri yapılmış ve böylece algoritmanın uygulanabilirliği gösterilmiştir. Ayrıca bu problemler ile difüzyon teriminin sistemlerin dinamiği üzerindeki etkisi tartışılmıştır.

In this thesis, we analyze the existence and properties of periodic solutions of a class of systems of reaction-diffusion equations with a single delay and Neumann boundary conditions while the delay parameter changes. For this, the delay term is chosen as the bifurcation parameter and the conditions under which the Hopf bifurcation occurs in the mentioned class of reaction-diffusion systems are determined. To specify the properties of the periodic solutions whose existence guaranteed in as a result of the method described the system is reduced to the center manifold. Moreover, in order to prevent the repetition of the involved steps for different problems belonging to the same class, an algorithm is developed. This algorithm consists of the conditions and formulas that will allow the existence analysis of Hopf bifurcation to be completed only by using the coefficients of the characteristic equation of the system, and will allow the direction analysis of Hopf bifurcation to be completed merely by using the coefficients of the second degree Taylor polynomials of functions in the system. Thus, the considered class of reaction-diffusion equation systems containing a single delay is completely analyzed by this study. Hopf bifurcation analysis of four different problems belonging to this class are performed with the obtained algorithm, and thus the feasibility of the algorithm is presented. Moreover, within the scope of these four problems, effects of diffusion on the dynamics of the systems are also discussed.