Genelleştirilmiş Entropiler ve Termal Salınımların İncelenmesi

Abstract

Boltzmann-Gibbs istatistiğinin uygulama alanı oldukça sınırlıdır. Boltzmann-Gibbs istatistiği, ekstensif sistemler olarak bilinen, en az Avogadro sayısı mertebesinde parçacığın içerildiği, parçacıkların hareketlerinin olabildiğince kaotik olduğu ve parçacıklar arası etkileşimlerin kısa erişimli olduğu sistemlere uygulandığında doğru sonuçlar alınabilmektedir. Ancak bu şartların sağlanmadığı birçok fiziksel, kimyasal ve biyolojik sistemler mevcuttur. Nanoboyuttaki bir aygıtın kendi kütlesel çekimi altında büyümesi, türbülans hareketi yaparak akan bir sıvı akışkanındaki hız vektörleri, nanoboyutta gözeneklere sahip bir ortam ya da zar boyunca moleküllerin difüzyonu ve bir hücre zarındaki iyon geçişleri gibi örnekler, Boltzmann-Gibbs istatistiğinin doğru sonuçlar vermediği sistemlerdir. Boltzmann-Gibbs istatistiğinin açıklayamadığı bu sistemlere kısaca ekstensif-olmayan sistemler denir. Son otuz yıldır bu ekstensif-olmayan sistemlerin analizlerine de uygulanacak şekilde Bolztmann-Gibbs entropisini de kapsayan entropiler üzerinde çalışmalar yapılmaktadır. Genelleştirilmiş entropiler olarak bilinen bu entropiler, Boltzmann-Gibbs entropisine bir ya da birden fazla parametrenin eklenmesi ile elde edilmişlerdir. Bu parametrelerin belirli limitlerinde tekrar Boltzmann-Gibbs entropisi elde edilir. Yapılan bu çalışmalar sonucu birden fazla genelleştirilmiş entropi öne sürülmüştür. Yakın zamanda entropinin yapısal özellikleri ile formel grup işlemi arasındaki benzerlikten yola çıkarak genelleştirilmiş bu entropileri tek bir entropi altında birleştirmeye yönelik çalışmalar yapılmıştır. Bütün genelleştirilmiş entropileri birleştiren bu entropiye evrensel entropi denir. Bu tezin ana konusu evrensel entropiyi grup teorisi esasında inceleyip termodinamiğin üçüncü yasasına ve temel bazı fiziksel geçerlilik şartlarına uyup uymadığını araştırmaktır. Buna ek olarak Tsallis entropisi baz alınarak oluşturulan ekstensif olmayan istatistiksel mekanik çerçevesinde iki uygulamaya yer verilmiş ve termal salınımlar incelenmiştir. Yapılan çalışmalar sonucu, evrensel entropi dahil diğer bütün genelleştirilmiş entropilerin genelleştirme parametrelerinin fiziksel olarak nasıl belirleneceğinin muğlak kaldığı kanaatine varılmıştır. Shannon-Khinchin'in dördüncü aksiyomunun genişletilmiş hâli olan formel grup işleminin kapalı formunun fiziksel geçerlilik şartları ile uyumlu bir şekilde seçilmemesi sonucu, evrensel entropinin de problemli olduğu vurgulanmıştır. Buna ek olarak genelleştirilmiş entropilerin temelinde yatan birkaç çelişkiye ve probleme değinilmiş ve ekstensif-olmayan istatistiksel mekanik çerçevesinde ergodik hipotezinin yanlış anlaşıldığına dikkat çekilmiştir. Varılan bu olumsuz sonuçlara rağmen, entropinin yapısal özellikleri ile formel grup yapısı arasındaki benzerliğin genelleştirilmiş entropiyi elde etmek için hâlâ yetkin yöntemlerden biri olarak görülebileceği anlaşılmıştır. Ayrıca genelleştirme parametrelerine başvurmadan, sistemin sıcaklığının dalgalanması hesaba katılıp Boltzmann-Gibbs entropisi yeniden yazıldığında, genelleştirilmiş entropilere benzer entropiler elde edilebilmektedir. Anahtar Kelimeler: Entropi, Termodinamiğin üçüncü yasası, Ekstensif sistemler, Ekstensif-olmayan sistemler, Termal dalgalanmalar, Genelleştirme parametreleri.

The application field of Boltzmann-Gibbs statistic is rather restrictive. It is applied successfully to those systems which contain particles at least at the extent of Avogadro number, which is known as the thermodynamic limit, have short-range interaction potential between the particles and whose particles' motions are quite chaotic. These systems are so-called extensive systems. However, there are many systems in Physics, Chemistry, Biology which these conditions don't exist such as the materials growing at nano scale under their gravitation, the velocity vectors of a fluid in the case of turbulence, the diffusion of particles through a porous medium. These systems, which Boltzmann-Gibbs statistic is not obtained, are known as nonextensive systems. For the recent of three decades, a few entropies have been proposed to extend the Boltzmann-Gibbs statistic in a way that can also be applied to the nonextensive systems. These entropies, known as generalized entropies, has been obtained by imposing one or more than one parameter to the Boltzman-Gibbs entropy. These entropies reduce to Boltzmann-Gibbs entropy under the specific limits of their parameter(s). In recent years, it was noticed a deep similarity between the structural properties of entropy function and the formal group law. This similarity paved the way for unifying the generalized entropies under the name of universal entropy. The main subject of this thesis is to analyze universal entropy on the ground of group theory and to search whether this entropy satisfies the third law of thermodynamics and some main physical validity conditions, such as Shannon-Khinchin axioms and third law of thermodynamics. In addition, one of the aims of the thesis is to investigate the thermal fluctuation and examine the application of the nonextensive statistical mechanics based on Tsallis entropy. The results obtained at the end of the thesis can be pointed as follow. The generalized parameter(s) of the entropies, including the universal entropy, is (are) still vague and it seems impossible to give a physical meaning to the parameter (s) by any general manner. Secondly, it has been emphasized that the universal entropy is problematic because of choosing the closed form of the formel group law, which is also the generalizing of the SK-4, inconsistently with the physical validity conditions. In addition, it has been mentioned some antinomies staying on the ground of the generalized entropies and has been drawn attention to the misunderstanding of the ergodic hypothesis. Despite these unfavorable results, it can be reasonably seen that the aforementioned similarity is still one of the main ways to construct the generalized entropy which also comprises the Boltzmann-Gibbs entropy. On the other hand, it is possible to generalize the Boltzmann-Gibbs entropy by regarding the temperature fluctuation and without imposing any (unphysical) generalized parameter(s). Key Words: Entropy, Third law of thermodynamic, Extensive systems, Nonextensive systems, Thermal fluctuations, Generalized parameters.