Bağımlı Bileşkeli (s, S) Tipli Stokastik Envanter Modellerin İncelenmesi

Abstract

Bu çalışmanın temel amacı bağımlı bileşkeli (s,S) tipli stokastik envanter modelinin incelenmesidir. Ele alınan (s,S) tipli stokastik envanter modelini incelemek için bağımlı bileşkeli ödüllü yenileme sürecinin iki farklı modifikasyonu (X(t)) matematiksel olarak inşa edilmiştir. Burada X(t) süreci her hangi bir t anındaki stokdaki envanter miktarını ifade etmektedir. Bağımlı bileşkeli stokastik süreçler, karmaşık matematiksel yapıları nedeniyle literatürde çok az incelenmiştir. Bu çalışmada bağımlılık varsayımının sürecin durağan karakteristikleri üzerindeki etkisini incelemekle literatürdeki bu boşluğu kısmen doldurmayı planlamaktayız. Bu amaçla, çalışmanın ilk bölümünde bağımlı bileşkeli ödüllü yenileme süreci her hangi bir kesikli şans karışımlı müdahale olmadan matematiksel olarak oluşturulmuştur. İlk olarak bu sürecin ergodikliği ispatlanmış ve ergodik dağılım için kesin sonuç elde edilmiştir. Daha sonra, doğrusal bağımlılık varsayımı altında sürecin ergodik dağılımı için asimptotik açılım elde edilmiştir. Bunlara ek olarak, V (t) ≡X(t)/β∈ (0,1) standartlaştırılmış süreci tanımlanmış ve β≡S-s → ∞ iken V(t) sürecinin ergodik dağılımının limitte [0; 1] aralığındaki düzgün dağılıma zayıf yakınsadığı gösterilmiştir. Bu sonuçtan yararlanarak, X(t) sürecinin ergodik dağılımının yaklaşık olarak [0; β] aralığında düzgün dağılıma sahip olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, çalışmada X(t) sürecinin durağan momentleri için de kesin sonuçlar elde edilmiştir. Ardından, yenileme teorisinin temel sonuçlarını ve Laplace dönüşümü yöntemini kullanarak sürecin durağan momentlerinin asimptotik davranışları analiz edilmiştir. Analize dayanarak durağan momentler için iki terimli asimptotik sonuçlar ortaya konmuştur. İlaveten, sürecin beklenen değeri, varyansı ve standart sapması için iki terimli asimptotik açılımlar önerilmiştir. Son olarak, sürecin ergodik dağılımının momentleri için elde edilen asimptotik sonuçlar doğrusal ve doğrusal olmayan bağımlılık varsayımları altında özel örneklerle incelenmiştir. Çalışmanın ikinci bölümünde bağımlı bileşkeli yenileme ödüllendirme süreci kesikli şans karışımlı müdahale varsayımı altında ele alınmış ve incelenmiştir. Bu çalışmada müdahale kısıtlandırılmış normal dağılımla ifade edilmiştir. Bu durumda sürecin ergodikliği ispatlanmış ve ergodik dağılım için kesin sonuç elde edilmiştir. Elde edilen bu sonuçtan yararlanarak sürecin ergodik dağılımının momentleri için de kesin formüllere ulaşılmıştır. Fakat elde edilen kesin formüllerin matematiksel zorluklarından dolayı sürecin ergodik dağılımının momentlerinin asimptotik davranışı incelenmiş ve iki terimli asimptotik sonuçlar ortaya konmuştur. Önerilen sonuçlar doğrusal ve doğrusal olmayan bağımlılık varsayımları altında özel örneklerle incelenmiştir.

The study is concerned with a stochastic inventory model of the type (s,S) with dependent components. Two various modifications of the renewal-reward process (X(t)) are constructed mathematically for the purpose of analysing this model. It is notable that, due to their complex mathematical structure, stochastic processes with dependent components have only been adressed to a limited extent in the literature. This gap is partially addressed by the present study. The effect of the dependency condition on the stationary characteristics of X(t) is investigated. For this, in the first chapter of the study, the renewal-reward process with dependent components is constructed without any discrete interference of chance. First of all, it is shown that the process is ergodic under some weak conditions. Subsequently, the precise result for the limit distribution of X(t) is acquired. Subsequently, assuming linear dependence, the asymptotic result for the limit distribution of X(t) is provided. Furthermore, it is proved that as β≡S-s→∞, the limiting distribution of V(t) weakly converges to the uniform distribution on the interval (0,1), which defines the standardised process V(t)≡X(t)/β ∈[0,1]. This result allows to conclude that the limit distribution of X(t) is approximately close to a uniform distribution in the interval [0,β]. Furthermore, this study provides precise results for the steady-state characteristics of the limit disribution of X(t). Subsequently, the asymptotic behaviour of the stationary characteristics of the limit distribution is analysed by taking advantage of the fundamental results of renewal theory and the Laplace transform. Asymptotic expansions for the stationary characteristics of the limit distribution are revealed based on the analysis. Additionally, asymptotic results are proposed for the expected value, variance and standard deviation of X(t). Eventually, the asymptotic results presented for the stationary characteristics of the limit distribution of X(t) are analysed by using special examples under linear and nonlinear dependence assumptions. The second chapter of the paper presents a detailed examination and analysis of the renewal-reward process, taking into account dependency assumption and discrete interference of chance. In this study, the discrete interference of chance is represented by a truncated normal distribution within the interval [0,β]. The proof of ergodicity and the precise result for the limit distribution are presented. Furthermore, an precise formula for the stationary characteristics of the limit distribution of X(t) is also attained using this result. Nevertheless, the approximate formulas of the steady-state characteristics of the limit distribution of X(t) has been investigated, resulting in the derivation of approximate formulas due to the inherent mathematical challenges associated with the precise formula. To illustrate the results, specific examples are presented.