Polinom Optimizasyonu ile Bir Nonlineer Dinamik Sistemsınıfı için Nonlineer Gözleyici Tasarımı

Abstract

Bu tezde, durum tahmin problemleri için Kareler Toplamı (SOS), Lineer Matriks Eşitsizlikler (LMI) ve Yarı Kesin Programlama (SDP) araçları kullanılarak polinom tipi terimlere sahip doğrusal olmayan dinamik sistemler için doğrusal olmayan gözlemci tasarım problemi incelenmiştir. İlk olarak, kararlılık analizi problemleri bu çalışmada sıklıkla kullanılan optimizasyon bağlamında ele alınmıştır. Bir Lyapunov fonksiyonu, analiz problemini LMI terimlerini, lineer eşitliklerini içeren ve MOSEK, PENLAB ve SEDUMI gibi koni çözücülerle çözülebilen bir optimizasyon problemi olarak formüle etmeye uygun bir şekilde parametreleştirilir. Mevcut araçlar, optimizasyon problemini bir koni çözücü tarafından çözülebilecek bir biçimde yapılandırmak için kullanılır. Bu formdaki problem, eşitsizliklerin dışbükeyliği ve lineer eşitlik kısıtlamaları nedeniyle bir dışbükey optimizasyon problemi olduğundan, bu problem güvenilir bir şekilde çözülebilir. Analiz problemini bir optimizasyon problemi olarak ifade etmek için kullanılan araçlar ile, aynı teknikler, girdi-durum kararlılığı (ISS) analiz problemi ifadesine uygulanır. ISS-Lyapunov fonksiyonuna uygulanan kısıtlamalar kullanılarak, bu analiz problemi de asimptotik kararlılık problemlerine benzer bir şekilde formüle edilebilir. ISS analiz problemi, gözlemcinin bir ISS-Lyapunov işlevine dayatılan kısıtlamalara benzer kısıtlamaları karşılaması gerektiğinden, gözlemci sentez problemi ile ISS analiz problemi arasında bir bağlantı olduğu için, bu çalışmayla ilgilidir. Gözlemci sentez problemi, bu yeni problemdeki bozucu sinyalin, durum tahmini terimleri olduğu, bozucu bastırımı isterleri ile doğrusal olmayan bir kontrol tasarım problemi olarak doğrudan formüle edilebilir. Bunu kullanarak, problem, çift doğrusal terimlere sahip bir optimizasyon problemi olarak ifade edilebilir. Bu optimizasyon probleminde bulunan yapı nedeniyle, optimizasyon problemi algoritmaları aracılığıyla türev alma kullanılarak, doğrusal olmayan bir gözlemcinin parametreleri optimize edilebilir. Bu işlemin ifade edilmesi ve uygulanması sistematiktir. Çalışmanın sonuçları verilmiş ve dışbükey optimizasyon algoritmaları kullanılarak kararlılık sertifikaları oluşturulmuştur.

In this thesis, nonlinear observer design problem is examined for nonlinear dynamical systems having polynomial type terms using Sum Of Squares (SOS), Linear Matrix Inequalities (LMI) and Semidefinite programming (SDP) tools for state estimation problems. First, the stabiliy analysis problems are discussed in the context of optimization that is frequently in this study. A Lyapunov function is parameterized in a way that is suitable for formulating the problem of analysis as a problem of an optimization problem that contains LMI terms, affine equalities and can be solved by cone solvers such as MOSEK, PENLAB and SEDUMI. The available tools is utilized to structure the optimization problem into a form that can be solved by a cone solver. Since the problem in this form is a convex optimization problem due to the convexity of the inequalities and the affine equality constraints, this problem can be solved reliably. Using the tools that are used to construct the analysis problem as an optimization problem, the same techniques are applied to the problem of input-to-state stabiliy (ISS) analysis problem. Using the constraints that are imposed on the ISS-Lyapunov function, this analysis problem can also be formulated in a way that is similar to asymptotical stabiliy problems. ISS analysis problem is pertinent to this study in that there is a connection between observer synthesis problem and ISS analysis problem since the observer needs to satisfy constraints that are similar to the constraints imposed on an ISS-Lyapunov function. The observer synthesis problem can be directly formulated as a nonlinear control design problem with disturbance rejection requirements in that the disturbance in that new problem is state estimate terms. Using this, the problem can be expressed as an optimization problem having bilinear terms. Due to the structure present in this optimization problem, using differentiation through optimization problem algorithms, one can optimize the parameters of a nonlinear observer. This process is easy to express and straightforward to implement. The results of the study is given and stabiliy certificates are constructed using convex optimization algorithms.