Fibonacci Küplerinin Roman Tipi Baskınlık Sayıları

Abstract

Bağlantı ağları çoklu bilgisayarların iletişim ihtiyaçları için geliştirilmiştir. Bağlantı ağları, köşe kümesi V(G) ve kenar kümesi E(G) olan bir G = (V(G),E(G)) çizgesi ile temsil edilebilir. Burada V(G) kümesi işlemcileri, E(G) kümesi ise iletişim ağlarını gösterir. En temel bağlantı ağı modellerinden biri n boyutlu hiperküp Qn çizgesidir. Bu çizgenin köşeleri uzunluğu n olan tüm ikili diziler ile etiketlenirken, sadece birer koordinatı farklı olan köşelerin birleştirilmesi ile kenar kümesi oluşturulur. n boyutlu Fibonacci küpü Γn, Qn çizgesinin köşe kümesinden ardışık bir içeren tüm köşelerin çıkarılması ile elde edilir. G bir çizge ve D kümesi G çizgesinin köşe kümesi olan V kümesinin bir alt kümesi olsun. V kümesindeki her bir köşe, D kümesinin bir elemanı veya D kümesinin bir elemanına komşu ise D kümesine baskın köşe kümesi denir. Baskın köşe kümelerinden en az elemanlı olanlarına minimal baskın küme ve bu kümenin eleman sayısına G çizgesinin baskınlık sayısı denir. Literatürde Fibonacci küplerinin bazı baskınlık tipi sayıları bilinmektedir. Fakat, savaş stratejisi olarak geliştirilen ve yardım kaynağı paylaşımı problemine de uygulanabilir olan Roman baskınlık problemi Fibonacci küpleri için literatürde çalışılmamıştır. Bu tezde, Roman baskınlık sayısı, zayıf Roman baskınlık sayısı ve çift Roman baskınlık sayısı olmak üzere üç adet Roman tipi baskınlık sayıları ele alınmıştır. Tam sayı lineer programlama problemleri çözülerek Fibonacci küpleri için bu baskınlık sayıları n ≤ 10 olmak üzere hesaplanmış ve 11 ≤ n ≤ 13 boyutları için en iyi alt ve üst sınırlar elde edilmiştir.

Interconnection networks have been developed for the communication needs of multiple computers. Interconnection networks can be represented by a graph G = (V(G),E(G)) with vertex set V(G) and edge set E(G). Here, the set V(G) represents the processors and the set E(G) represents the communication networks. One of the most basic interconnection models is the n-dimensional hypercube, Qn. While the vertices of this graph are labeled with all binary strings of length n, the edge set is formed by combining vertices with only one coordinate different. The n Fibonacci cube Γn is obtained by deleting all vertices containing a consecutive 1 from the vertex set of Qn. Let G be a graph and D be a subset of V, which is the vertex set of graph G. If each vertex in V is adjacent to an element of D or an element of D, the set D is called the domination set. The domination sets with the least number of elements are called the minimal domination set and the number of elements of this set is called the domination number of the G graph. Some domination type numbers of Fibonacci cubes are known in the literature. However, the Roman domination problem, which was developed as a war strategy and can be applied to the resource sharing problem, has not been studied in the literature for Fibonacci cubes. In this thesis, three Roman type domination numbers, namely Roman domination number, weak Roman domination number and double Roman domination number are discussed. By solving integer linear programming problems, these domination numbers are calculated as n ≤ 10 for Fibonacci cubes and the best lower and upper bounds are obtained for 11 ≤ n ≤ 13 dimensions.